2025年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系

代数学概論第一

開講元: 数学系
担当教員: 内藤聡 / 皆川龍博
授業形態: 講義/演習 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 水3-4 (M-110(H112)) / 木5-8 (M-110(H112))
クラス: -
科目コード: MTH.A201
単位数: 110
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

代数学は数学的対象のもつ演算規則を抽象化・一般化した理論である。本講義の主要なテーマは、演算規則に関する基本的な概念と性質、および整数や多項式の抽象化・一般化である (可換な) 環とそのイデアル、剰余環等の概念と性質である。偶数回目の授業では前回の講義内容に関する問題演習を行い、概念の定着を図る。本講義は、第 2Q に引き続き行われる「代数学概論第二」へ続くものである。

本講義で学ぶ内容は代数学全体の基礎であるだけでなく、解析学や幾何学等、他の分野においても必須である。また、直感に頼らずに論証を行う事は、数学のみならず全ての数理系科学において基本的な態度である。本講義では、集合と写像の概念に基づいた厳密な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

到達目標

代数学における重要な概念である環、部分環、体、整域、イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、等を理解し、習熟する事。また、これらについての基本的な性質を自力で証明できる様になる事。

キーワード

環、部分環、体、整域、イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	環の定義と例	講義中に指示する。
第2回	環の定義と例に関する問題演習	講義中に指示する。
第3回	環の定義から導かれる諸性質	講義中に指示する。
第4回	環の定義から導かれる諸性質に関する問題演習	講義中に指示する。
第5回	部分環の定義と例	講義中に指示する。
第6回	部分環の定義と例に関する問題演習	講義中に指示する。
第7回	可逆元・べき零元と体・整域	講義中に指示する。
第8回	可逆元・べき零元と体・整域に関する問題演習	講義中に指示する。
第9回	イデアルの定義と例	講義中に指示する。
第10回	イデアルの定義と例に関する問題演習	講義中に指示する。
第11回	剰余環の定義と例	講義中に指示する。
第12回	剰余環の定義と例に関する問題演習	講義中に指示する。
第13回	素イデアルと極大イデアル	講義中に指示する。
第14回	素イデアルと極大イデアルに関する問題演習	講義中に指示する。

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね 30 分を目安に行うこと。

教科書

中島匠一 : 代数と数論の基礎, 共立出版, 2000.

参考書、講義資料等

雪江明彦: 代数学 2 環と体とガロア理論, 日本評論社, 2010.
堀田良之：代数入門－環と加群－，裳華房, 1987.
(アンドレ・ヴェイユ：初学者のための整数論(ちくま学芸文庫)，筑摩書房，2010.)

成績評価の方法及び基準

期末試験の点数，および演習における問題の解答状況により評価する。詳細は講義中に指示する。

履修の条件・注意事項

「線形代数学第一・演習」「線形代数学第二」「線形代数学演習第二」を履修していることを前提とする。

連絡先 (メール、電話番号) ※”[at]”を”@”(半角)に変換してください。

（内藤）　naito[at]math.titech.ac.jp
（皆川）　minagawa[at]math.titech.ac.jp