2025年度 (最新) 学院等開講科目 環境・社会理工学院 土木・環境工学系
物理数学基礎・演習
- 開講元
- 土木・環境工学系
- 担当教員
- 丸山 泰蔵 / 藤井 学
- 授業形態
- 講義/演習 (対面型)
- メディア利用科目
- -
- 曜日・時限
(講義室) - 月1-2 (W5-106) / 木1-2 (W5-106)
- クラス
- -
- 科目コード
- CVE.M201
- 単位数
- 110
- 開講時期
- 2025年度
- 開講クォーター
- 1Q
- シラバス更新日
- 2025年3月19日
- 使用言語
- 日本語
シラバス
授業の目的（ねらい）、概要
本講義はベクトル解析ならびにフーリエ変換・偏微分方程式に分かれて行われる。ベクトル解析では、ベクトル値関数、ベクトル場、スカラー場の勾配、ベクトル場の発散、回転、線積分、面積分、複素関数、グリーンの定理、ガウス発散定理、ストークスの定理などの工学的数学基礎を取り扱い、種々の物理学的現象（水理学など）を理解するうえで重要な基礎となる。フーリエ変換・偏微分方程式は、時空間における動的問題を取り扱うために重要な内容であり，この講義内容を理解することによって土木工学分野における動的問題に対する基礎的な準備とするものである。具体的内容は，フーリエ級数，フーリエ積分，偏微分方程式の定式化，偏微分方程式の一般解の例，変数分離法である。
到達目標
1) スカラー場とベクトル場の概念を正しく説明できる。
2) 線積分と面積分、複素関数の概念と定式化を理解し、計算を行うことができる。
3) グリーンの定理、面積分、ガウスの発散定理とストークスの定理を証明でき、それを用いることができる。
4) フーリエ変換の理論を正しく説明できる。
5) 振動数領域と時間領域の関係について式を用いて説明できる。
6) 偏微分方程式の基本的な問題を解くことができる。
キーワード
ベクトル値関数、ベクトル場、スカラー場の勾配、ベクトル場の発散、回転、線積分、面積分、複素関数、グリーンの定理、ガウス発散定理とストークスの定理、フーリエ級数，フーリエ積分，振動数領域，偏微分方程式，弦，変数分離法
学生が身につける力
- 専門力
- 教養力
- コミュニケーション力
- 展開力 (探究力又は設定力)
- 展開力 (実践力又は解決力)
授業の進め方
各授業は基礎を中心とするが，その応用も含む。課題をこなすことで、授業内容の理解を深める。
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | ベクトル解析基礎事項: ベクトル、スカラー、ベクトル空間、内積・外積、ベクトル値関数、複素関数基礎 (藤井) | ベクトル、スカラー、ベクトル空間、内積・外積、複素数と複素平面、等を理解する。 |
| 第2回 | スカラー場とベクトル場(1)：スカラー場とベクトル場の例、スカラー場の勾配ベクトル(grad)、複素関数の微分 (藤井) | スカラー場とベクトル場の例、スカラー場の勾配ベクトル(grad)、複素関数の微分と正則関数等、を理解する。 |
| 第3回 | スカラー場とベクトル場(2): スカラー場の勾配ベクトル(grad)とベクトル場の発散(div)、ベクトル場の回転(rot)、複素関数の微分 (藤井) | スカラー場の勾配ベクトル(grad)とベクトル場の発散(div) 、回転（rot f）、コーシー・リーマンの方程式を理解する。 |
| 第4回 | 線積分と面積分(1): スカラー場とベクトル場の線積分、複素関数の線積分 (藤井) | スカラー場とベクトル場の線積分、複素関数の線積分を理解する。 |
| 第5回 | 線積分と面積分(2): スカラー場とベクトル場の面積分 (藤井) | スカラー場とベクトル場の面積分を理解する。 |
| 第6回 | 線積分と面積分(3): ガウスの発散定理 (藤井) | ガウスの発散定理を理解する。 |
| 第7回 | 線積分と面積分(4): ストークスの定理、グリーンの定理、複素関数の積分 (藤井) | ストークスの定理、グリーンの定理、複素関数の積分を用いた解析、を理解する。 |
| 第8回 | ベクトル解析（授業前半１－７回）の理解度確認 | ベクトル解析（授業前半１－７回）の理解度を確認する |
| 第9回 | フーリエ積分とその性質(丸山) | フーリエ積分の定義，フーリエ積分の数学的性質 |
| 第10回 | フーリエ級数(丸山) | フーリエ級数の定義，フーリエ積分との関係 |
| 第11回 | フーリエ級数の性質(丸山) | フーリエ級数に関する数学的性質，フーリエ級数の応用例 |
| 第12回 | 偏微分方程式の定式化(丸山) | 偏微分方程式の例，物理的問題の表現 |
| 第13回 | 波動方程式/拡散方程式とその解法(丸山) | 波動方程式の定式化とその解法 |
| 第14回 | 変数分離法/梁の非減衰自由振動(丸山) | 変数分離法を用いた偏微分方程式の解法/梁の非減衰自由振動の運動方程式とその解法 |
| 第15回 | フーリエ変換と偏微分方程式に関する部分の理解度確認試験(丸山) | フーリエ変換と偏微分方程式に関する理解度の確認 |
準備学修(事前学修・復習)等についての指示
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，授業ごとに授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
Kreyszig, E., 2011, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, John Wiley, New York.
必要に応じて、適宜資料を配布する（藤井、丸山）
参考書、講義資料等
盛川仁・山中浩明：地盤と地盤振動 ---観測から数値解析まで---，朝倉書店，2019. (丸山)
必要に応じて、適宜資料を配布する（藤井）
成績評価の方法及び基準
各項目の理解度を試験と課題を通して評価する。評価基準は以下の通り：
総合演習 (期末試験) 35%，課題15% (丸山)
総合演習 (期末試験) 35%，課題15% (藤井)
関連する科目
- CVE.A210 ： 土木振動学
- CVE.M202 ： システム数理基礎・演習
- CVE.B201 ： 水理学第一
- CVE.B202 ： 水理学第二
履修の条件・注意事項
特になし
その他
講義・演習の進み方によってはスケジュールの変更および補講を行うことがある。