2025年度 (最新) 学院等開講科目 情報理工学院 数理・計算科学系
数値解析
- 開講元
- 数理・計算科学系
- 担当教員
- 田中 健一郎
- 授業形態
- 講義
- メディア利用科目
- -
- 曜日・時限
(講義室) - クラス
- -
- 科目コード
- MCS.T335
- 単位数
- 200
- 開講時期
- 2025年度
- 開講クォーター
- 4Q
- シラバス更新日
- 2025年3月19日
- 使用言語
- 日本語
シラバス
授業の目的（ねらい）、概要
本講義では、科学・工学などで現れる数理的問題を、数値計算で解決する手法について解説する。それらの問題では具体的な解が要求される一方で、数学的に厳密解を求めることは多くの場合に困難である。そのため、これらを計算機による数値計算で解決する手法は、データ科学が重要性を増す現代において、なお一層不可欠である。そこで、本講義では、数値計算の手法やそれらの数学的解析の基礎を解説する。
本講義のねらいは、基本的な数学的問題に対する数値計算の方法を、その方法の数学的原理を含めて理解し、説明できるようになることである。また、その上で、実際に計算機を用いて数値計算を実行できるようになることも、本講義のねらいに含まれる。
到達目標
本講義を履修することによって以下の能力を修得する。
(1) 基本的な数学的問題に対する数値計算の方法を、その数理を含めて説明できる。
(2) 実際に計算機を用いて数値計算を実行できるようになる。
キーワード
数値解析、数値計算、アルゴリズム、近似理論、計算機
学生が身につける力
- 専門力
- 教養力
- コミュニケーション力
- 展開力 (探究力又は設定力)
- 展開力 (実践力又は解決力)
授業の進め方
できるだけ多くの応用に触れながら、数値計算法とその数理についての講義を行います。また、プログラミングを行ってそれらの計算法を計算機で実行する小課題を、いくつか課す予定です。
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | イントロダクション | 数値計算が必要となる場面の例が分かるようになる。 |
| 第2回 | 計算機における数値の表現 | 計算機内で数値がどのように表現されているかと、それに伴う問題点について説明できるようになる。 |
| 第3回 | 連立一次方程式（１）－ 直接法 | 連立一次方程式の数値解法のうち、「直接法」について説明できるようになる。 |
| 第4回 | 連立一次方程式（２）－ 反復法 | 連立一次方程式の数値解法のうち、「反復法」について説明できるようになる。 |
| 第5回 | 固有値問題（１）－ べき乗法 | 固有値問題の数値解法のうち、「べき乗法」について説明できるようになる。 |
| 第6回 | 固有値問題（２）－ QR法、特異値分解 | 固有値問題の数値解法のうち、「QR法」について説明できるようになる。また、固有値問題と特異値分解の関係を説明できるようになる。 |
| 第7回 | 関数の補間法と近似法（１）－ Lagrange補間多項式、スプライン補間など | 関数を補間したり近似したりする方法について学び、特に「Lagrange補間多項式」や「スプライン補間」について説明できるようになる。 |
| 第8回 | 関数の補間法と近似法（２）－ その他の発展的方法 | より発展的な関数近似法、主な例としてニューラルネットによる関数近似法について、説明できるようになる。 |
| 第9回 | 数値積分法（１）－ Newton-Cotes公式、Gauss型公式など | 積分の数値計算法について学び、特に「Newton-Cotes公式」や「Gauss型公式」について説明できるようになる。 |
| 第10回 | 数値積分法（２）－ その他の発展的方法 | より発展的な数値積分法、主な例として変数変換型の方法について、説明できるようになる。 |
| 第11回 | 常微分方程式の数値解法（１）－ Euler法、Runge-Kutta法など | 常微分方程式の数値解法について学び、特に「Euler法」や「Runge-Kutta法」について説明できるようになる。 |
| 第12回 | 常微分方程式の数値解法（２）－ 収束解析、安定性解析 | 前回学んだ常微分方程式の数値解法に対して、収束率の解析や安定性の解析ができるようになる。 |
| 第13回 | 最適化法（１）－ 最急降下法、Newton法、共役勾配法 | 最適化問題の数値解法について学び、特に「最急降下法」や「Newton法」、「共役勾配法」について説明できるようになる。 |
| 第14回 | 最適化法（２）－ 常微分方程式の数値解法との関係 | 前回学んだ最適化問題の数値解法に対して、常微分方程式の数値解法との関係を説明できるようになる。 |
| 第15回 | 実施なし | 実施なし |
準備学修(事前学修・復習)等についての指示
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する 予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
教科書は指定しない。必要に応じて講義資料を作成して配布する他、参考書を案内する。
参考書、講義資料等
山本哲朗：数値解析入門[増訂版]，サイエンス社，東京，2003．
齊藤宣一：数値解析入門，東京大学出版会，東京，2012．
成績評価の方法及び基準
講義期間中に課す小課題：10％
期末試験：90％
関連する科目
- MCS.T302 ： 数理最適化
履修の条件・注意事項
基礎的な微積分と線形代数を学んでいること。また、最適化法も学んでいるとより望ましい。