2025年度 (最新) 学院等開講科目情報理工学院数理・計算科学系

ルベーグ積分論

開講元: 数理・計算科学系
担当教員: 西畑伸也 / 後藤田剛 / 荒井迅 / 高橋仁 / 土岡俊介 / 一木俊助
授業形態: 講義/演習 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 月7-8 (W8E-308(W834)) / 木5-8 (W8E-308(W834))
クラス: -
科目コード: MCS.T304
単位数: 210
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

面積および積分を精密化，拡張した概念である測度およびルベーグ積分に関する基礎について講義を行う．
1次元ユークリッド空間上においてルベーグ(外)測度，可測関数の概念を導入した後，ルベーグ積分を定義して
その基本的な性質について解説する．また関数の極限と積分の交換に関する収束定理とその応用について解説する．
次に多次元ユークリッド空間におけるルベーグ積分を定義し，逐次積分との関係を述べたフビニの定理を紹介する．
最後にルベーグ空間と関連する関数不等式について解説する．

到達目標

測度論とルベーグ積分論の基礎について理解する．収束定理やフビニの定理を具体的な問題に応用できるようになる．

キーワード

外測度，可測集合，測度，可測関数，ルベーグ積分，収束定理，フビニの定理

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

本講義の理解の為には，計算練習等による講義内容の習熟が必要である．その為，演習のクラスを行う．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	ルベーグ積分論の概観	講義の内容を理解する.
第2回	ルベーグ外測度	講義の内容を理解する.
第3回	準備とルベーグ外測度に関する演習	講義の理解を深める.
第4回	ルベーグ可測集合	講義の内容を理解する.
第5回	ルベーグ可測関数の定義	講義の内容を理解する.
第6回	ルベーグ可測集合とルベーグ可測関数に関する演習	講義の理解を深める.
第7回	ルベーグ可測関数の性質	講義の内容を理解する.
第8回	ルベーグ積分の定義	講義の内容を理解する.
第9回	ルベーグ可測関数とルベーグ積分に関する演習	講義の理解を深める.
第10回	ルベーグ積分の性質	講義の内容を理解する.
第11回	収束定理	講義の内容を理解する.
第12回	ルベーグ積分の性質と収束定理に関する演習	講義の理解を深める.
第13回	収束定理の応用	講義の内容を理解する.
第14回	ルベーグ積分とリーマン積分との関係	講義の内容を理解する.
第15回	収束定理，リーマン積分との関係の関する演習	講義の理解を深める.
第16回	直積測度	講義の内容を理解する.
第17回	フビニの定理	講義の内容を理解する.
第18回	直積測度とフビニの定理に関する演習	講義の理解を深める.
第19回	フビニの定理の応用	講義の内容を理解する.
第20回	ルベーグ空間	講義の内容を理解する.
第21回	フビニの定理およびルベーグ空間に関する演習	講義の理解を深める.

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ本学学修規程で定められた時間を目安に行う。

教科書

谷島賢二著「ルベーグ積分と関数解析」朝倉書店

参考書、講義資料等

講義中に指示する．

成績評価の方法及び基準

試験およびレポートによる．

履修の条件・注意事項

極限，上限(下限)の概念，集合と位相に関する基本的事項を理解していることが望ましい．