2025年度 (最新) 学院等開講科目工学院情報通信系

関数解析と逆問題

開講元: 情報通信系
担当教員: 山田功 / 小尾高史
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 月5-6 (S2-201(S224)) / 木5-6 (S2-201(S224))
クラス: -
科目コード: ICT.S302
単位数: 200
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

現代のデータサイエンスを担う信号処理, 画像処理，パターン認識, 機械学習などの研究課題を見通よく解決するには，関数解析が提供する統一的視座を習得しておくことが大きな助けとなります。本講義では，実数列の収束やベクトル空間の定義の確認からスタートし，距離空間，ノルム空間，内積空間，バナッハ空間，ヒルベルト空間で展開される関数解析の基本的な理論と共に典型的な逆問題への応用例を学びます。

到達目標

講義を通して，以下の能力を習得することを目標としています。
1) 空間の概念，収束の概念, 作用素の概念を理解し，使えるようになる。
2) 現実に現れる多様な逆問題を統一的に捉えることができるようになる。

キーワード

距離空間，完備距離空間，開集合，閉集合，縮小写像の不動点定理，ノルム空間，有界線形作用素，内積空間，中線定理，バナッハ空間，ヒルベルト空間，射影定理，線形多様体への直交射影，正規方程式，一般逆行列，特異値分解，正則化, 逐次近似的画像再構成, 拘束条件, L1ノルム最小化, スパースモデリング, 不完全データ

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

週に２回の講義を行う。

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	関数解析を学ぶ理由と初年次数学の復習	関数解析を学ぶ理由と工学における関数解析の役割を説明せよ
第2回	距離空間と完備距離空間	距離空間と完備距離空間について説明せよ。
第3回	開集合と閉集合	開集合と閉集合の定義と基本性質について説明せよ。
第4回	縮小写像の不動点定理と関数方程式への応用 (注：海外出張先からZoom開講予定)	縮小写像の不動点定理と関数方程式への応用について説明せよ。
第5回	ノルム空間と有界線形作用素	ノルム空間と有界線形作用素について説明せよ。
第6回	内積空間と中線定理, バナッハ空間とヒルベルト空間	内積空間と中線定理, バナッハ空間とヒルベルト空間について説明せよ。
第7回	ヒルベルト空間における射影定理	ヒルベルト空間における射影定理について説明せよ。
第8回	直交射影, 一般逆行列, Fourier級数展開再訪	直交射影, 一般逆行列, Fourier級数展開について説明せよ。
第9回	特異値分解と画像処理	特異値分解および特異値分解を用いた画像処理、画像圧縮について説明せよ。
第10回	ノイズと正則化	ノイズを含む信号と正則化手法の関係を説明せよ。
第11回	逐次近似法による画像再構成	ARTのような逐次近似的画像再構成手法を説明せよ。
第12回	拘束条件を考慮した画像再構成問題	拘束条件を考慮した画像再構成問題を説明せよ。
第13回	ノルム最小化とスパースモデリング	ノルム最小化とスパースモデリングの関係を説明せよ.
第14回	不完全データからの医用画像再構成	不完全な観測データからの医用画像を再構成する手法を説明せよ。

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

工学のための関数解析, 山田功著, 数理工学社(サイエンス社), 2009.

参考書、講義資料等

ルーエンバーガー, 関数解析による最適理論(増渕, 嘉納訳), コロナ社, 1973.
山田功, 工学と関数解析 - 統一的視座のありがたみ, 数理科学(特集：関数解析的思考法のすすめ -数理科学に表すその姿)
No.646, 2017年4月.
グロエッチェ, 数理科学における逆問題 (金子, 山本, 滝口訳), サイエンス社, 1996.

成績評価の方法及び基準

学習目標の達成度を前半部(関数解析の基本)と後半部(逆問題の基本)の内容を含む期末テスト等により評価する

履修の条件・注意事項

原則として情報通信系所属学生に限って履修を認める．