2025年度 (最新) 学院等開講科目工学院機械系

工業数学基礎

開講元: 機械系
担当教員: 吉田和弘 / 山﨑敬久
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 月5-8 (W2-401(W241))
クラス: -
科目コード: MEC.A211
単位数: 200
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義では，機械工学（機械系）の分野に進んだ学生を主な対象として，力学，弾性体力学，流体力学，電磁気学などに用いられるベクトル解析，および線形システムおよび非線形システムの解析などに用いられる常微分方程式について講義する。ベクトル解析については，ベクトルの代数演算，ベクトルの微分，ベクトルによる曲線や曲面の計量，スカラー場の勾配，ベクトル場の発散・回転，ベクトル場の積分定理について解説する。常微分方程式については，1階常微分方程式，高階常微分方程式，フーリエ級数などをテーマとし，常微分方程式の基本解のはたらきについても解説する。

到達目標

本講義を履修することによって次の能力を修得する。
1) ベクトルの基本的な代数演算および微分について理解し，計算できる。
2) ベクトルによる曲線や曲面の計量について理解し，計算できる。
3) スカラー場の勾配，ベクトル場の発散・回転，ベクトル場の積分定理について理解し，計算できる。
4) 線形常微分方程式および非線形常微分方程式について説明できる。
5) 一般解の基本的性質を説明できる。
6) 微分演算子を含む高階常微分方程式の解法について理解し，実行できる。

キーワード

ベクトル代数，ベクトルの微分，曲線・曲面の計量，ベクトルの積分，座標変換，ガウスの定理，ストークスの定理，直交曲線座標，常微分方程式，基本解，微分演算子，フーリエ級数，非線形常微分方程式，摂動解法

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)
【専門力】基盤的な専門力

授業の進め方

講義の最初に前回出題した演習問題の解説を行い，講義中に講義した事項に関する演習問題を出題する。講義の準備のため，授業計画をよく読み，次回の内容を把握しておくこと。課題は，予習，復習のため事前に行っておくこと。

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	ベクトルの基本的性質　〜　単位ベクトル，ベクトルの成分，スカラー積，ベクトル積，スカラー３重積，ベクトル３重積	ベクトルの代数公式を用いて基本的な演算ができる
第2回	はじめに；１階線形常微分方程式	基本解，特殊解および一般解の理解
第3回	ベクトルの微分　〜　速度ベクトル，加速度ベクトル，運動方程式，微分演算曲線　〜　平面曲線，空間曲線，接線ベクトル，法線ベクトル，曲率，ねじれ率	ベクトルの微分公式を理解し，質点の運動について計算できる．ベクトルによる曲線の計量を理解し，曲率やねじれ率を計算できる
第4回	高階線形常微分方程式	一般解およびロンスキー行列式の理解
第5回	曲面　〜　曲面の表現，距離・面積・法線，曲面上の曲線，主曲率	ベクトルによる曲面の計量を理解し，表面積や曲率を計算できる
第6回	高階線形常微分方程式	微分演算子および定数変化法の理解
第7回	ベクトルの場Ⅰ　〜　スカラー場の勾配，ベクトル場の発散，連続の式，ラプラシアン	スカラー場の勾配とベクトル場の発散の計算方法と物理的意味を理解する
第8回	連立線形常微分方程式	固有値の理解
第9回	ベクトルの場Ⅱ　〜　ベクトル場の回転，座標変換とスカラーとベクトル	ベクトル場の回転，座標変換とスカラー・ベクトルの関係を理解する
第10回	級数解法	級数解法の理解
第11回	ベクトル場の積分定理Ⅰ　〜　線積分，ガウスの定理，静電力と万有引力，ポアソンの方程式	ベクトルの線積分，ガウスの定理を理解し，力学や電磁気学の問題に応用できる
第12回	非線形常微分方程式，直交関数系	摂動解法およびベッセル関数の理解
第13回	ベクトル場の積分定理Ⅱ，直交曲線座標　〜　グリーンの定理，ストークスの定理，円筒座標系と球座標系	グリーンの定理，ストークスの定理を理解する．円筒座標系や球座標系における勾配，発散，回転を計算できる
第14回	フーリエ級数	フーリエ級数の理解

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

矢野健太郎，石原繁：『基礎解析学』，裳華房，ISBN: 978-4-7853-1079-0

参考書、講義資料等

寺田文行・木村宣昭：『ベクトル解析の基礎』，サイエンス社，ISBN: 4-7819-0876-4
竹之内脩：『微分方程式とその応用』，サイエンス社，ISBN: 4-7819-1060-2

成績評価の方法及び基準

ベクトル解析，常微分方程式，およびそれらの応用に関する理解度を期末試験（65%）および演習（35%）で評価する。

履修の条件・注意事項

この科目は
　旧MEC.B211.A「常微分方程式」および，旧MEC.B214.A「ベクトル解析」
の読み替え科目です。
・「常微分方程式」「ベクトル解析」両方の単位を修得済みの場合はこの科目を履修できません。
2023年3月31日以前に入学した学生(～22B)がこの科目の単位を修得した場合は
・どちらか一方の単位を修得済みの場合はA(○)1単位，標準課程外1単位
・両方の単位を未修得の場合はA(○)2単位
で単位換算されます。
また，線形代数学第一・第二，微分積分学第一・第二を履修していること，または同等の知識を有すること。