2025年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系数学コース

解析学特論B1

開講元: 数学コース
担当教員: 小野寺有紹
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 月3-4 (M-102(H115))
クラス: -
科目コード: MTH.C406
単位数: 100
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 2Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 英語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義および「解析学特論A1」では，楕円型方程式の過剰決定問題を題材とし，領域の変形を伴う偏微分方程式論の幾つかの典型的解析手法を学ぶことが目標である．
ここで扱う過剰決定問題とは，境界条件が過剰に課された偏微分方程式の境界値問題に対して，解が存在するための領域形状を問うものである．
例えば，古典的ディリクレ問題に付加的にノイマン境界条件が課された境界値問題が可解となる領域を問う問題は典型的であり，それは変分不等式や形状最適化問題のEuler-Lagrange方程式として現れる．

本講義では，可解領域の存在，一意性，対称性，および境界条件等の微小摂動に対する領域形状の変化の定量的評価について解説する．
また，それらの解析方法にも焦点を当て，移動平面法，変分法，積分恒等式に加え，線型化解析を基礎とする陰函数型定理や発展方程式的解析について紹介する．

到達目標

領域の変形を伴う偏微分方程式の解析手法に習熟する．

キーワード

偏微分方程式，過剰決定問題，最大値原理，変分法，解析的半群

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．適宜レポート課題を出題する．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	過剰決定問題の変分構造1	講義中に指示する．
第2回	過剰決定問題の変分構造2	講義中に指示する．
第3回	過剰決定問題の一径数族と幾何学的発展方程式1	講義中に指示する．
第4回	過剰決定問題の一径数族と幾何学的発展方程式2	講義中に指示する．
第5回	解析的半群	講義中に指示する．
第6回	最大正則性理論	講義中に指示する．
第7回	幾何学的発展方程式の可解性	講義中に指示する．

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，授業内容に関する予習と復習（課題含む）を十分に行うこと．

教科書

使用しない．

参考書、講義資料等

- D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001.
- A. Henrot, M. Pierre, Shape variation and optimization, European Mathematical Society, 2018.
- A. Lunardi, Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems, Birkhauser, 1995.

成績評価の方法及び基準

レポート課題 (100%) による．

履修の条件・注意事項

解析学特論A1（MTH.C405）も同時に履修すること．