2025年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系数学コース

代数学特論B1

開講元: 数学コース
担当教員: 内藤聡
授業形態: 講義
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 木5-6 (M-119(H118))
クラス: -
科目コード: MTH.A406
単位数: 100
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 2Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 英語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

群の表現論においては、与えられた群が様々な仕方でベクトル空間に作用する様子を調べる。
この講義では, 対称群の複素数体上の有限次元既約表現の分類とそれらの具体的構成方法, そして既約指標の計算方法について解説する. 但し, Frobenius, Schur, Young による古典的なアプローチでは無く, 近年になって Okounkov-Vershik によって導入された現代的なアプローチを紹介する.
本講義は、第 1Q に開講される「代数学特論A1」の講義内容を踏まえて行われる．

到達目標

・対称群の既約有限次元表現の分類を理解する.
・対称群の既約有限次元表現の具体的構成法を理解する.
・対称群の既約有限次元表現の指標の計算方法を理解する.

キーワード

対称群, 既約有限次元表現, 既約指標, Murnaghan-Nakayama rule

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う。

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	hook length formula とその証明	レポート問題を授業中に出す。
第2回	分岐グラフと Young グラフの同型: part 1	レポート問題を授業中に出す。
第3回	分岐グラフと Young グラフの同型: part 2	レポート問題を授業中に出す。
第4回	対称群の既約有限次元表現の具体的実現	レポート問題を授業中に出す。
第5回	対称群の既約有限次元表現の Gelfand-Zetlin 基底	レポート問題を授業中に出す。
第6回	対称群の既約有限次元表現の指標	レポート問題を授業中に出す。
第7回	Schur の再交換団定理と Schur 関手	レポート問題を授業中に出す。
第8回	Schur-Weyl の双対性	レポート問題を授業中に出す。

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，参考書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ 30 分を目安に行うこと。

教科書

使用しない。

参考書、講義資料等

T. Ceccherini-Silberstein, F. Scarabotti, F. Tolli, Representation Theory of the Symmetric Groups, Cambridge University Press, 2010.
M. Lorenz, A Tour of Representation Theory, American Mathematical Society, 2018.

成績評価の方法及び基準

レポート課題の評価による（100%）。

履修の条件・注意事項

線形空間論と、学部で講義される程度の代数学を学んでおく事が望ましい。
また、MTH.A405「代数学特論A1」の履修が望ましい。