実解析第二

開講元

数学系

担当教員

利根川 吉廣

授業形態

講義/演習 (対面型)

メディア利用科目

-

曜日・時限
(講義室)

火3-6 (M-B101(H102))

クラス

-

科目コード

MTH.C306

単位数

110

開講時期

2025年度

開講クォーター

2Q

シラバス更新日

2025年3月19日

使用言語

日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義は，直前に行われる「実解析第二」に続くものである．本講義では，測度および測度による積分(Lebesgue積分)に関する，より発展的な概念と性質を扱う．まず測度の構成や拡張について学ぶ．次に，Lebesgue測度による積分とRiemann積分との関係を明らかにする．その次に，積分により定まる関数空間を導入し，その基本的な性質について学ぶ．最後に，直積空間上の(逐次)積分の測度論的な取り扱いとして，Fubiniの定理について学ぶ．
Lebesgueによって集合論の土台の上に構築された測度および積分の理論は，長さや面積，体積あるいは確率等の概念の自然な拡張とみなせる．無限が関わる操作(図形や関数に対する極限等)は，自然に理論の枠内で取り扱うことができる．本講義を通じて，Lebesgue式の積分によって理論の適用範囲がどう拡がり，それがどのような局面で有効となるのかを伝えたい．

到達目標

・測度の基本的な構成方法の概略を説明できるようになること．
・Lebesgue積分とRiemann積分の違いが説明できるようになること．
・Lebesgue積分の理論を微分積分学の問題に応用できるようになること．
・積分に関する関数不等式や関数空間を用いる考え方に馴染むこと．
・Fubiniの定理を(多)重積分・逐次積分の計算に正しく適用できるようになること．

キーワード

Hopfの拡張定理，外測度，Caratheodory可測性，Riemann積分，H\"olderの不等式，Minkowskiの不等式，Lebesgue空間，直積測度，Fubiniの定理

学生が身につける力

• 専門力
• 教養力
• コミュニケーション力
• 展開力 (探究力又は設定力)
• 展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う．

授業計画・課題

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

特になし．

参考書、講義資料等

ルベーグ積分の基礎，日野正訓

成績評価の方法及び基準

試験，レポートと演習時の発表．

関連する科目

• MTH.C305 ： 実解析第一
• MTH.C201 ： 解析学概論第一

履修の条件・注意事項

実解析第一を履修済みであること．
解析学概論第一，同第二，位相空間論第一，同第二を履修済みであることが望ましい．