実解析第一

開講元

数学系

担当教員

利根川 吉廣

授業形態

講義/演習 (対面型)

メディア利用科目

-

曜日・時限
(講義室)

火3-6 (M-B101(H102))

クラス

-

科目コード

MTH.C305

単位数

110

開講時期

2025年度

開講クォーター

1Q

シラバス更新日

2025年3月19日

使用言語

日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義では，測度および測度による積分(Lebesgue積分)に関する基本的な概念と性質を扱う．まず測度の定義域となる可算加法族と(可算加法的)測度の基礎を解説し，最も基本的な測度であるLebesgue測度について学ぶ．次に，積分対象となる可測関数およびLebesgue積分を導入し，その基本的な性質について学ぶ．最後に，積分の理論・応用双方の要となる収束定理について学ぶ．本講義は，引き続き行われる「実解析第二」に続くものである．
測度および積分の理論は，Lebesgueによって集合論の土台の上に構築された．これは，長さや面積，体積あるいは確率等の概念の自然な拡張とみなせる．無限が関わる操作(図形や関数に対する極限等)は，自然に理論の枠内で取り扱うことができる．本講義を通じて，Lebesgue式の積分によって理論の適用範囲がどう拡がり，それが解析学において如何に有効になるのかを伝えたい．

到達目標

・可算加法族および測度の概念に馴染むこと．
・与えられた可測関数が可測である理由を説明できるようになること．
・積分の基本的な性質について，それが成り立つ理由を知り使いこなせるようになること．
・収束定理を，正しく仮定を判定して適用できるようになること．

キーワード

可算加法族，可測空間，測度，測度空間，Lebesgue測度，可測関数，Lebesgue積分，単調収束定理，Fatouの補題，優収束定理

学生が身につける力

• 専門力
• 教養力
• コミュニケーション力
• 展開力 (探究力又は設定力)
• 展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う．

授業計画・課題

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

特になし．

参考書、講義資料等

ルベーグ積分の基礎，日野正訓

成績評価の方法及び基準

試験，レポートと演習時の発表．

関連する科目

• MTH.C306 ： 実解析第二

履修の条件・注意事項

解析学概論第一，同第二，位相空間論第一，同第二を履修済みであることが望ましい．