2025年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系

幾何学概論第一

開講元: 数学系
担当教員: 直江央寛
授業形態: 講義
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室)
クラス: -
科目コード: MTH.B211
単位数: 100
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 3Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

線形代数学，微分積分学から必要な事項を整理したのち，以下の事項を学ぶ：平面曲線のパラメータ表示・弧長・曲率・曲率の幾何学的意味・フルネの公式・平面曲線の基本定理・空間曲線の曲率と捩率・空間曲線の基本定理．
平面・空間曲線の微分幾何学の基本事項を通して，これまでに学んだ線形代数学・微分積分学が使われる場面を体験し，変換・不変量といった現代幾何学の基本的な概念を知る．本講義は直後に開講される「幾何学概論第二」へ続くものである。

到達目標

平面曲線，空間曲線の微分幾何学の基本的な事項を学ぶ．
（１）曲線の曲率や捩率を合同変換やパラメータ変換で不変な量としてとらえ，それが曲線を決定すること（曲線論の基本定理）を理解する．
（２）閉曲線の位相幾何学的な性質と曲率の関係を通して，局所的な概念と大域的な概念の違いを知る．
（３）これらの理論を具体例の計算によって確認する．

キーワード

微分幾何学・平面曲線・空間曲線・曲率・捩率・合同変換

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

課題（問題・質問）に関するコメント，講義，課題出題のセットを繰り返す．
なお，以下の授業計画は，開講形態等諸般の事情により変更の可能性がある

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	ユークリッド空間の曲線	講義中に指示する．
第2回	平面曲線の基本定理	講義中に指示する．
第3回	閉曲線	講義中に指示する．
第4回	曲率円	講義中に指示する．
第5回	フルネ・セレの公式	講義中に指示する．
第6回	空間曲線の基本定理	講義中に指示する．
第7回	陰関数定理

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

課題を実施には平均して100分程度かかる模様．

教科書

初回の授業で幾つかの教科書を紹介する

参考書、講義資料等

小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」裳華房
梅原雅顕・山田光太郎「曲線と曲面（改訂版）」裳華房
Manfredo P. do Carmo, Differenial Geoetry of Curves and Surfaces,　Prentice-Hall Inc., 1976.

成績評価の方法及び基準

最初の授業で説明する．

履修の条件・注意事項

線形代数学第一・演習，微分積分学第一・演習，線形代数学第二，微分積分学第二で学ぶ内容は既知として授業を行う（単位取得は条件としない）．

連絡先 (メール、電話番号) ※”[at]”を”@”(半角)に変換してください。

naoe[at]math.titech.ac.jp

オフィスアワー

設定しない．必要な場合は電子メイルにて連絡すること．

その他

【講義がオンラインか対面かにより，評価方法，授業の進め方が異なる可能性がある．開講時期が近づいたら連絡するので注意すること】
詳細は講義 web ページおよびT2SCHOLAを参照のこと．
関連する科目は，記入欄が少ないので直接関連する科目のみを挙げた．その他に微分方程式概論第一，微分方程式概論第二
位相空間論第一，位相空間論第二，位相空間論第三，位相空間論第四
幾何学第一，幾何学第二,幾何学続論
複素解析第一，複素解析第二
などの科目と関連がある．