位相空間論第二

開講元

数学系

担当教員

遠藤 久顕 / 中村 聡

授業形態

講義/演習 (対面型)

メディア利用科目

-

曜日・時限
(講義室)

火3-8 (M-B104(H103))

クラス

-

科目コード

MTH.B202

単位数

110

開講時期

2025年度

開講クォーター

2Q

シラバス更新日

2025年3月19日

使用言語

日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは順序集合とユークリッド空間および距離空間である。順序集合に関する基本的事項を解説した後、整列集合、帰納的順序集合およびこれらの応用について学ぶ。また、ユークリッド空間に関する基本的事項を解説し、これまで慣れ親しんできた連続写像の概念が、開集合の言葉で簡潔に言い表せることを学ぶ。最後に距離空間の概念を定義し、写像の連続性がユークリッド空間の場合とまったく同様に言い換えられることをみる。隔回で講義内容に関する演習問題を行う。本講義は、1Qに開講される「位相空間論第一」に続くものである。
　集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものである。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

到達目標

・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ特別な性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること

キーワード

順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像

学生が身につける力

• 専門力
• 教養力
• コミュニケーション力
• 展開力 (探究力又は設定力)
• 展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

なし

参考書、講義資料等

内田伏一「集合と位相（増補新装版）」（裳華房）
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波書店）
遠藤久顕「集合と位相」（サイエンス社）
梅原雅顕・一木俊助「これからの集合と位相」（裳華房）

成績評価の方法及び基準

期末試験50%・演習50%

関連する科目

• MTH.B201 ： 位相空間論第一
• MTH.B203 ： 位相空間論第三
• MTH.B204 ： 位相空間論第四

履修の条件・注意事項

位相空間論第一を履修済みであること。
微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。

その他

教科書は特に指定しないが、集合と位相に関する本を一冊持っておくことを勧める。