2025年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系

位相空間論第一

開講元: 数学系
担当教員: 遠藤久顕 / 中村聡
授業形態: 講義/演習 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 火3-4 (M-B104(H103)) / 火7-10 (M-B104(H103))
クラス: -
科目コード: MTH.B201
単位数: 110
開講時期: 2025年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2025年3月19日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは集合と写像に関する基本的な概念と性質である。集合に関する基本的な演算を解説した後、集合の間の写像に関する基本的な概念（単射、全射、全単射）を学ぶ。次に、二項関係、特に同値関係について解説し、同値類および商集合について学ぶ。最後に、集合の間の相等について解説し、いわゆる濃度について学ぶ。また、隔回で講義内容に関する演習問題を行う。本講義は、引き続き行われる「位相空間論第二」に続くものである。
　集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものである。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

到達目標

・ド・モルガンの法則を自由に使えるようになること
・与えられた写像が全射になるか、単射になるか、全単射になるか判定できるようになること
・与えられた写像の像と逆像を求められるようになること
・同値関係と商集合の具体例を扱えるようになること
・連続の濃度と可算の濃度の違いを理解すること

キーワード

集合、写像、像と逆像、直積集合、二項関係、同値関係、商集合、集合の濃度、可算濃度と非可算濃度

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	集合の定義、例、和集合、共通部分、部分集合、補集合	講義中に指示する
第2回	第一回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する
第3回	ド・モルガンの法則、分配法則、集合の間の写像	講義中に指示する
第4回	第3回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する
第5回	像と逆像、写像の合成、直積集合	講義中に指示する
第6回	第5回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する
第7回	集合の間の対応、添え字づけられた集合族	講義中に指示する
第8回	第7回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する
第9回	二項関係、同値関係、同値類、商集合	講義中に指示する
第10回	第9回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する
第11回	集合の濃度、濃度の大小関係、可算集合	講義中に指示する
第12回	第11回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する
第13回	連続の濃度、非可算集合、巾集合の濃度	講義中に指示する
第14回	第13回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

なし

参考書、講義資料等

内田伏一「集合と位相（増補新装版）」（裳華房）
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波書店）
遠藤久顕「集合と位相」（サイエンス社）
梅原雅顕・一木俊助「これからの集合と位相」（裳華房）

成績評価の方法及び基準

期末試験50%・演習50%

履修の条件・注意事項

微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。

その他

教科書は特に指定しないが、集合と位相に関する本を一冊持っておくことを勧める。最初の授業で本の紹介を行うので、その後で本を決めてもよい。