2026年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系数学コース

代数学特論A

開講元: 数学コース
担当教員: 下元数馬
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 木5-6 (M-101(H116))
クラス: -
科目コード: MTH.A401
単位数: 100
開講時期: 2026年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2026年3月5日
使用言語: 英語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

代数幾何学、整数論、可換環論で重要になりつつあるパーフェクトイド理論の基礎について講義を行う。本講義では "Advanced topics in Algebra B" （代数学特論B）とともに、可換環論の基礎、Banach加群、adic空間についても解説を行う。

到達目標

本コースでは、正標数、標数零、混合標数という異なる数学的世界を舞台に、可換環の構造的性質を探究する。正標数においてフロベニウス自己準同型という強力な道具を使い、環の性質を解明する基礎を与える。これを土台として、HochsterとHunekeが提唱したタイト・クロージャ（緊密閉包）理論を導入し、特異点の解析やホモロジー代数における諸予想への応用を与える。講義の後半では、これらを架け橋として混合標数の環へと進む。非ネーター的な可換代数を駆使する概数学（Almost Mathematics）の視点を取り入れ、現代数学の重要理論であるパーフェクトイド理論の基礎を習得を目指す。

キーワード

正標数、Frobenius写像、Cohen-Macaulay環、完全閉包

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による。

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	可換環論の復習	講義中に指示する
第2回	Frobenius写像と特異点１	講義中に指示する
第3回	Frobenius写像と特異点２	講義中に指示する
第4回	Cohen-Macaulay環	講義中に指示する
第5回	Big Cohen-Macaulay代数	講義中に指示する
第6回	完全閉包、代数的改変	講義中に指示する
第7回	Big Cohen-Macaulay代数の構成	講義中に指示する

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学習効果を上げるため、講義やその他資料で提供する参考資料の閲覧を推奨する。

教科書

使用しない。

参考書、講義資料等

M.Hochster: Foundations of tight closure theory
T.Polstra and L.Ma: F-singularities: A commutative algebra approach(https://www.math.purdue.edu/~ma326/F-singularitiesBook.pdf)
K.Shimomoto: Lectures on perfectoid geometry for commutative algbraists
O.Gabber and L.Ramero: Almost ring theory

成績評価の方法及び基準

上記レポートの解答状況による。詳細は講義中に指示する。

履修の条件・注意事項

学部程度の代数，特に可換環論と加群

その他

特になし。