2021年度 H27年度以前入学者向け理学部数学科

数学特殊講義G

開講元: 数学科
担当教員: 山本修二 / 鈴木正俊
授業形態: 講義
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 集中講義等
クラス: -
科目コード: ZUA.E341
単位数: 200
開講時期: 2021年度
開講クォーター: 2Q
シラバス更新日: 2025年7月10日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

Riemannゼータ関数やDirichlet L関数の非正整数における値の計算は，Euler以来の古典的なテーマである．新谷卓郎は錐分割という卓抜なアイディアによって，これを一般の総実代数体に拡張する結果を得た．最近，坂内健一氏・萩原啓氏・山田一紀氏らとの共同研究において，新谷の結果を「代数トーラス族の同変層係数コホモロジー」という枠組みで再解釈し，より自然な理解を与えることに成功したので，それらのことについて解説する．また同様の枠組みを使って，p進L関数の正整数における値をp進ポリログで表す公式（有理数体におけるColemanの定理の拡張）についても述べたい．
講義の中心となるテーマは「新谷生成類」というある種のコホモロジー類を具体的に構成することである．古典的な有理数体の場合，新谷生成類はt/(1-t)という有理関数に他ならない．このように，関数の自然な一般化としてコホモロジー類を考えることは，今回のケースに限らず，古典的な定理・公式の拡張を考える際に有用となる可能性がある．この講義を通じてその視点を獲得し，コホモロジーを扱う方法の実例とともに学んでほしい．

到達目標

・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値が，一つの生成関数で記述される仕組みを理解すること
・総実代数体のゼータ関数に対する新谷の仕事の概要を理解すること
・総実代数体に付随する代数トーラス族，および同変コホモロジーのCech複体による記述を知ること
・新谷生成類の構成，およびその等分点における特殊化の計算法を理解すること
・総実代数体のp進ポリログの構成，およびp進L関数の値との関係を知ること

キーワード

総実代数体，Lerchゼータ関数，Hecke L関数，新谷生成類，p進L関数，p進ポリログ

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	以下の内容を解説する予定である．・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値に関する古典的結果・総実代数体のゼータ関数の特殊値に関する新谷の仕事・代数トーラス族およびその同変コホモロジーの記述・新谷生成類の構成・新谷生成類の等分点への特殊化の計算・p進L関数とp進ポリログの構成およびそれらの関係	講義中に指示する．

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

Bannai et al.: Canonical equivariant cohomology classes generating zeta values of totally real fields, arXiv:1911.02650
Bannai et al.: p-adic polylogarithms and p-adic Hecke L-functions for totally real fields, arXiv:2003.08157

成績評価の方法及び基準

レポート課題(100%)による．

履修の条件・注意事項

特になし