数学特別講義E

開講元

数学コース

担当教員

濵口 雄史 / 星野 壮登

授業形態

講義 (対面型)

メディア利用科目

-

曜日・時限
(講義室)

集中講義等 (201数学系セミナー室)

クラス

-

科目コード

MTH.E435

単位数

200

開講時期

2026年度

開講クォーター

2Q

シラバス更新日

2026年3月30日

使用言語

日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは、無限次元空間上のMarkov過程に関するエルゴ―ド性と確率Volterra方程式 (stochastic Volterra equation; SVE) のMarkovリフトへの応用である。SVEは確率微分方程式の拡張であり、数理ファイナンスや統計物理学における「記憶効果」を持つ非Markov的な現象を記述するモデルとして注目されている。しかし、その非Markov性ゆえに、解の長時間挙動の解析には従来のMarkov的手法を直接適用することは困難である。これに対し、近年、SVEの解を無限次元Hilbert空間上のMarkov過程として捉え直す「Markovリフト」の手法が発展してきた。本講義では、無限次元空間上のMarkov過程のエルゴ―ド性に関する一般論と、そのSVEのMarkovリフトへの具体的な適用手法を体系的に学ぶ。
　本講義では、無限次元Markov過程のエルゴード性に関する強力な一般論として、Hairer–Mattingly–Scheutzow (2011) によるHarrisの定理の一般形を詳説する。この定理は、時間遅れを持つ確率微分方程式やある種の確率偏微分方程式にも適用可能な極めて汎用性の高い道具立てである。講義の後半では、SVEのMarkovリフトの枠組みを導入し、この一般化されたHarrisの定理を適用することで、不変確率測度の一意存在性および推移確率の弱収束性（弱エルゴード性）を導出する最新の研究成果を紹介する。

到達目標

・Harrisの定理の一般形の主張を理解すること
・確率Volterra方程式のMarkovリフトの考え方を理解すること
・確率Volterra方程式のMarkovリフトのエルゴ―ド性の証明を理解すること

キーワード

Markov過程、不変確率測度、エルゴ―ド性、Harrisの定理、一般化カップリング、確率Volterra方程式、Markovリフト

学生が身につける力

• 専門力
• 教養力
• コミュニケーション力
• 展開力 (探究力又は設定力)
• 展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う。また、適宜レポート課題を出す。

授業計画・課題

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

・M. Hairer, J.C. Mattingly, and M. Scheutzow. Asymptotic coupling and a general form of Harris' theorem with applications to stochastic delay equations, Probab. Theory Related Fields, 149, 223--259, 2011.
・Y. Hamaguchi. Markovian lifting and asymptotic log-Harnack inequality for stochastic Volterra integral equations, Stochastic Process. Appl., 178, 104482, 2024.
・A. Kulik. Ergodic Behavior of Markov Processes: With Applications to Limit Theorems, Berlin, Boston: De Gruyter, 2018. https://doi.org/10.1515/9783110458930

成績評価の方法及び基準

レポート課題(100%)による．

関連する科目

• MTH.C361 ： 確率論
• MTH.C507 ： 解析学特論G1
• MTH.C508 ： 解析学特論H1

履修の条件・注意事項

なし