2026年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系数学コース

数学特別講義C

開講元: 数学コース
担当教員: 糟谷久矢 / 服部俊昭
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 集中講義等 (201数学系セミナー室)
クラス: -
科目コード: MTH.E433
単位数: 200
開講時期: 2026年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2026年3月5日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

等質空間はリー群（滑らかな群構造をもつ多様体）の閉部分群の商として表される空間です。ユークリッド空間や球面、双曲空間といった空間はその一例となります。リー群とその閉部分群を取り替えることによって色々な空間が得られ、バラエティー豊かな幾何構造の研究が展開されます。等質空間の幾何構造は、リー代数を用いて研究することができます。リー代数とは大体行列のようなもので、要するに等質空間は線形代数で習った手法（固有値など)を駆使して研究が深められます。本講義では、幾何を研究する上では基本的な不変量であるコホモロジーに注目して解説します。リー群が冪零であり、閉部分群が離散的である場合、等質空間は冪零多様体と呼ばれます。この冪零多様体のコホモロジーはリー代数のコホモロジーと同型となることが知られています（野水の定理）。野水の定理は1950年代の結果で古典的ですが、現代でも多くの応用を持ち、様々な拡張が活発に調べられています。リー群が可解（冪零より広い群のクラス）の場合、等質空間は可解多様体と呼ばれます。本講義の目的の一つとして、糟谷が築いた野水の定理の可解多様体への拡張について詳細に解説したいと思います。

到達目標

色々な等質空間のコホモロジーの計算ができるようになり、それを用いて幾何構造の研究ができるようになることを目指します。特に糟谷が確立した可解多様体のコホモロジーの計算法についてマスターし、未だ研究の進んでいない可解多様体の幾何学について研究できるようになってほしいです。

キーワード

リー群、リー代数、等質空間、冪零多様体、可解多様体、コホモロジー、複素幾何

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	（１）リー代数のコホモロジー　　（２）リー群と等質空間　（３）冪零多様体と可解多様体　（４）コホモロジーの計算法　（５）複素幾何学への応用　（６）半単純リー群	講義中に指示する

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

教科書

使用しない．

参考書、講義資料等

適宜講義中に紹介する．

成績評価の方法及び基準

レポート課題(100%)による．

履修の条件・注意事項

可微分多様体と位相幾何学についての基礎知識