2026年度 (最新) 学院等開講科目理学院数学系数学コース

代数学特論C

開講元: 数学コース
担当教員: 大矢浩徳
授業形態: 講義
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室)
クラス: -
科目コード: MTH.A403
単位数: 100
開講時期: 2026年度
開講クォーター: 3Q
シラバス更新日: 2026年3月5日
使用言語: 英語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義では量子群の表現論について入門的な解説を行う．本講義で扱う量子群はDrinfeld-神保の量子群(量子包絡代数)と呼ばれるもので，半単純リー環の普遍包絡代数の"q-変形"とみなされるホップ代数である．量子群の表現論は半単純リー環の表現論にqというパラメータが入ったものとなり，量子Yang-Baxter方程式の非自明解の構成，結晶基底・標準基底の理論，qを1の冪根に特殊化した際のモジュラー表現論との類似など，多くの重要な理論を生み出してきた．本講義では，量子群の定義から始めてその表現論の基礎事項，および結晶基底・標準基底の理論の概説を行う．パラメータqが半単純リー環の理論をどのように"変形"し，どのような応用を与えるのかを理解することが本講義の目的である．

なお，本講義は後に続く"Advanced topics in Algebra D(代数学特論D)"とあわせてひと続きの内容となっている．

到達目標

・ルートデータに付随する量子包絡代数の定義が説明できる．
・量子包絡代数の可積分最高ウェイト表現の分類が説明できる．
・普遍R行列の構成が説明できる．
・結晶基底・標準基底の性質を挙げられる．

キーワード

量子包絡代数，可積分最高ウェイト表現，普遍R行列，結晶基底，標準基底

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による．レポート課題を講義中に与える．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	カッツ・ムーディ・リー環論の概説	講義中に指示する
第2回	量子包絡代数の定義	講義中に指示する
第3回	量子包絡代数の基本構造	講義中に指示する
第4回	量子包絡代数の可積分最高ウェイト表現	講義中に指示する
第5回	普遍R行列	講義中に指示する
第6回	結晶基底・標準基底 (1)	講義中に指示する
第7回	結晶基底・標準基底 (2)	講義中に指示する

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学習効果を上げるため，講義中に紹介する参考資料などを通して自主的に学習することを推奨する

教科書

使用しない．

参考書、講義資料等

・G. Lusztig, Introduction to quantum groups, Reprint of the 1994 edition. Mod. Birkhäuser Class. Birkhäuser/Springer, New York, 2010.
・J.C. Jantzen, Lectures on quantum groups, Grad. Stud. Math., 6, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
・J. Hong and S.-J. Kang, Introduction to quantum groups and crystal bases, Grad. Stud. Math., 42, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

成績評価の方法及び基準

レポートによる評価（100%）

履修の条件・注意事項

代数学における基本事項を修得していることが望ましい.

その他

特になし．