2024年度学院等開講科目情報理工学院数理・計算科学系数理・計算科学コース

幾何学特論

開講元: 数理・計算科学コース
担当教員: 梅原雅顕 / 西畑伸也 / 荒井迅 / 室伏俊明 / 鈴木咲衣
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 月5-6 (S3-207(S322)) / 木5-6 (S3-207(S322))
クラス: -
科目コード: MCS.M426
単位数: 200
開講時期: 2024年度
開講クォーター: 2Q
シラバス更新日: 2025年3月14日
使用言語: 英語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

平面曲線や空間曲面を波面とみなして，その時間発展を考えると，特異点がしばしば現れる．この講義では，曲線・曲面を扱う上で重要な微分幾何学な手法を特異点を含めた形で紹介し，さらに重要な特異点について判定法や性質についても解説する．曲線論，曲面論をどこかである程度学んでいることが望ましいが，講義では曲線論・曲面論の基礎知識がなくても理解できるよう，基礎的な事柄から解説する．また，多様体論の基礎を学んでいると理解が深まります．

到達目標

本講義を履修することにより，曲線や曲面を扱う上で不可欠な幾何学的手法の基礎を理解し，それらをさまざまな具体的な問題に応用できるようになることを目標とする．

キーワード

曲線，曲面，特異点，ガウス曲率，波面

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

本講義は，平面上の曲線や空間内の曲面について，曲率などの基本的事項を解説し，これらの対象を数式として扱う上で有用な手法を紹介する．同時に，曲線や曲面に現れる代表的な特異点について，具体例を示しながら，その判定法や幾何学的性質を紹介する．内容の理解を深めるために，毎回の講義では適宜コンピュータグラフィックスを用いて，具体例の解説を行う．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	平面曲線の基礎事項（特異点，正則点，曲率関数）	講義の内容を理解する．
第2回	特異点をもつ平面曲線（包絡線，縮閉線，カスプ特異点）	講義の内容を理解する．
第3回	平行曲線と縮閉線，伸開線の関係（振り子時計への応用）	講義の内容を理解する．
第4回	波面としての曲線	講義の内容を理解する．
第5回	閉曲線となる波面の性質	講義の内容を理解する．
第6回	曲面論の基礎事項１（曲面に現れる代表敵な特異点，第一基本形式）	講義の内容を理解する．
第7回	曲面論の基礎事項２（第二基本形式，ガウス曲率，平均曲率，主曲率）	講義の内容を理解する．
第8回	平行曲面と波面 (ガウス曲率一定曲面と平均曲率一定曲面の間の関係)	講義の内容を理解する．
第9回	波面としての曲面 (抽象的波面の定義など)	講義の内容を理解する．
第10回	滑らかな関数の性質と交叉帽子特異点の判定法の紹介	講義の内容を理解する．
第11回	カスプと交叉帽子の判定法の証明	講義の内容を理解する．
第12回	カスプ辺の幾何学	講義の内容を理解する．
第13回	特異点をもつ曲面のガウス・ボネ型定理	講義の内容を理解する．
第14回	発展的内容	講義の内容を理解する．

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

特になし．

参考書、講義資料等

特異点をもつ曲線と曲面の微分幾何学（梅原・佐治・山田著）丸善出版，　曲線と曲面（梅原雅顕・山田光太郎共著）裳華房，2002,
Differential Geometry of Curves and Surfaces with Singularities (Umehara, Saji, Yamada, translated by W. Rossman) World Scientific.

成績評価の方法及び基準

講義時の毎回の小問・レポート等により総合的に判断する．

履修の条件・注意事項

位相空間論，ベクトル解析などにある程度精通していることが望ましい．

その他

特になし