2024年度学院等開講科目理学院数学系数学コース

数学最先端特別講義P

開講元: 数学コース
担当教員: 本間泰史 / 五味清紀
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 集中講義等
クラス: -
科目コード: MTH.E645
単位数: 200
開講時期: 2024年度
開講クォーター: 2Q
シラバス更新日: 2025年3月17日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

スピン幾何学とは，スピノール場に作用するディラック作用素や特殊なスピノール場を用いて幾何学及び解析学を行う分野である．本講義ではスピン幾何学を研究するための基本事項（クリフォード代数．スピノール場．ディラック作用素，ツイスター作用素）を講義し，Friedrich固有値評価とキリング-スピノール場にを説明する．そして，Wangによる平行スピノールを持つ多様体の分類，Barによる実キリングスピノールを持つ多様体の分類について解説する．また，最近の話題としてスピン3/2幾何学を解説する．
　これらの話題を通して，スピン幾何学が様々な幾何構造（アインシュタイン多様体，G2多様体などのリッチ平坦多様体など）と関わりがあり現代微分幾何学で重要であることが理解できる．

到達目標

・クリフォード代数，スピン群の表現の理解
・スピン多様体，ディラック作用素，ツイスター作用素の理解
・キリング-スピノール場とアインシュタイン多様体の理解
・キリング-スピノール場を持つ多様体と幾何構造の関係の理解

キーワード

クリフォード代数，スピノール場，ディラック作用素，キリング-スピノール場，アインシュタイン多様体

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	・クリフォード代数とスピン群，スピノール表現，・スピン構造・レビチビタ接続，スピン接続，ホロノミー群・ディラック作用素と指数定理・固有値評価とキリング-スピノール場・アインシュタイン多様体と様々な幾何構造・分類定理（平行/キリング-スピノール場をもつ多様体の分類）・スピン3/2幾何学	講義中に指示する

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

``スピン幾何学　-スピノール場の数学-''　本間泰史著　森北出版
``Real Killing spinors and holonomy’’, C Bär, Comm. Math. Phys. 154 (1993), 509–521.
``spin geometry'' by J. Figueroa-O'Farrill (@ https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/SpinNotes.pdf)
``spin geometry'' by C. Bär (＠ https://www.math.uni-potsdam.de/en/professuren/geometry/teaching/lecture-notes）

成績評価の方法及び基準

レポート課題(100%)による．

履修の条件・注意事項

特になし