2024年度学院等開講科目理学院数学系数学コース

数学特別講義F

開講元: 数学コース
担当教員: BEZ Richard Neal / 木下真也
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 集中講義等 (本館2階201数学系セミナー室)
クラス: -
科目コード: MTH.E436
単位数: 200
開講時期: 2024年度
開講クォーター: 4Q
シラバス更新日: 2025年3月14日
使用言語: 英語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは, ユークリッド空間上のBrascamp-Lieb不等式である. まず, Holderの不等式, Youngの畳み込み不等式, Loomis-Whitney不等式などのいくつかの具体例を紹介し, L^p空間や線形作用素の補間定理についての準備も行う. その後, Liebの定理やJ. Bennett, A. Carbery, M. Christ, T. TaoによるBrascamp-Lieb定数の有限性の特徴づけなど, Brascamp-Lieb不等式の一般理論について説明する. 一般理論の一部として, 幾何学的Brascamp-Lieb不等式の熱流による証明を学ぶ.

Brascamp-Lieb不等式は, ここ数年内に凸幾何学, 調和解析, 幾何学的測度論, 数論などの数学分野に大きな影響を与えたものであるが, この授業科目の主な目標はBrascamp-Lieb不等式の基礎理論を深く理解することである.

到達目標

・Brascamp-Lieb不等式の具体例を扱えるようになること
・Brascamp-Lieb不等式の一般理論を理解すること
・幾何学的Brascamp-Lieb不等式の役割を理解すること
・熱流やBrascamp-Lieb定数の因数分解を使用してLiebの定理を証明する方法を理解すること
・Bennett-Carbery-Christ-TaoによるBrascamp-Lieb定数の有限性の特徴づけを証明する方法を理解すること

キーワード

多重線形不等式, Holderの不等式, Youngの畳み込み不等式, Loomis-Whitney不等式, Brascamp-Lieb不等式, 熱流

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	以下の内容を順に解説する予定である : ・L^p空間と補間定理・Holderの不等式・Youngの畳み込み不等式・Loomis-Whitney不等式・Brascamp-Lieb不等式・Liebの定理・Bennett-Carbery-Christ-Taoによる有限性の特徴づけ・幾何学的Brascamp-Lieb不等式・熱流・熱流による幾何学的Brascamp-Lieb不等式の証明・Bennett-Carbery-Christ-TaoによるLiebの定理の証明・Bennett-Carbery-Christ-Taoによる有限性の特徴づけの証明	講義中に指示する。

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

J. Bennett, A. Carbery, M. Christ, T. Tao, The Brascamp-Lieb inequalities: finiteness, structure and extremals, Geometric and Functional Analysis, Vol. 17 (2008), pp. 1343-1415
(arXivバージョン: https://arxiv.org/abs/math/0505065)

成績評価の方法及び基準

レポート課題(100%)による．

履修の条件・注意事項

なし