2024年度学院等開講科目理学院数学系

幾何学第一

開講元: 数学系
担当教員: KALMAN TAMAS
授業形態: 講義/演習 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 金3-6 (M-107(H113))
クラス: -
科目コード: MTH.B301
単位数: 110
開講時期: 2024年度
開講クォーター: 1Q
シラバス更新日: 2025年3月14日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の目的は, 微分可能多様体の基本的な概念と性質について学んでもらうことである。多様体の概念は数学のみならず関連する諸分野, 例えば理論物理学
おいても重要なものであるが, 初学者にとってこのような抽象的な概念は理解しにくいものである。たくさんの具体的な例をあげ, 理解の一助にしてもらうつもりである。
　講義では, 多様体の定義から初め, 多様体上の関数, 多様体間の写像が滑らかであることの定義, 正則値の逆像を使った多様体の構成方法, 接ベクトルと接空間について解説する。各回で講義内容に関する問題演習を行う。本講義は, 引き続き行われる「幾何学第二」に続くものである。

到達目標

・多様体の定義を理解すること。
・多様体の例を５つ以上挙げることができるようになること。
・多様体上の関数, 多様体間の写像が滑らかであるということの定義を理解すること。
・正則値の逆像を使って多様体を構成する方法を知ること。
・接ベクトルと接空間の定義を理解すること。

キーワード

多様体, 微分構造, 滑らかな関数, 滑らかな写像, 正則値, 射影空間, 接ベクトル, 接空間

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	多様体の定義、多様体の例（球面）	講義中に指示する。
第2回	第1回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する。
第3回	多様体の例（球面以外の例）、微分構造	講義中に指示する。
第4回	第3回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する。
第5回	滑らかな関数と写像、正則値定理による多様体の構成	講義中に指示する。
第6回	第5回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する。
第7回	正則値定理の証明	講義中に指示する。
第8回	第7回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する。
第9回	実射影空間、実射影平面上の曲線	講義中に指示する。
第10回	第9回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する。
第11回	複素射影空間、接ベクトルの定義	講義中に指示する。
第12回	第11回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する。
第13回	接空間の定義、接空間がベクトル空間になること	講義中に指示する。
第14回	第13回の講義内容に関する問題演習	講義中に指示する。

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

使用しない。

参考書、講義資料等

「多様体の基礎」松本幸夫著　東京大学出版会 (1998年)
「多様体入門」松島与三著　裳華房 (1965年)
「多様体」服部晶夫著　岩波書店 (1989年)

成績評価の方法及び基準

期末試験の点数、および演習における問題の解答状況により評価する。詳細は講義中に指示する。

履修の条件・注意事項

位相空間論第三、第四、解析学概論第一、第二を履修済みであることが望ましい。