2020年度学院等開講科目理学院数学系

幾何学概論第二

開講元: 数学系
担当教員: 山田光太郎
授業形態: 講義 (ZOOM)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 木3-4 (H112)
クラス: -
科目コード: MTH.B212
単位数: 100
開講時期: 2020年度
開講クォーター: 4Q
シラバス更新日: 2025年7月10日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

MTH.B211 幾何学概論第一に続き，主に以下の事項を学ぶ：
正則曲面のパラメータ表示,第一基本形式・⻑さ・角度・面積，第二基本形式・主曲率・Gauss曲率・平均曲率，測地線，Gauss-Bonnetの定理，曲面論の基本定理の意味．古典的な曲面の微分幾何学の基本事項を身につけるとともに,現代の微分幾何学を学ぶための準備を行う.

到達目標

3次元ユークリッド空間内の曲面の微分幾何学の基本的な事項，とくに，曲面の曲率の概念と，その幾何学的な性質を学ぶ．
(1) 曲面のパラメータ表示とパラメータ変換，パラメータによらない量の概念を知る．
(2) 曲面の曲率と曲面の形状の関係を知る．
(3) 曲面の大域的性質と局所的性質の具体例を知る．
(4) 理論の具体例を計算によって確認する．

キーワード

微分幾何学・曲面・Gauss曲率・平均曲率・Gauss-Bonnetの定理．

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

毎回の講義にて (1) 講義内容に関連する問題を解く (2) 講義内容に関する質問あるいは講義資料等の誤りの指摘，の2つからなる課題を与える．これを材料に講義を組み立てる．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	Gauss曲率・平均曲率（第一基本量，第二基本量）	講義中に指示する．
第2回	パラメータ不変性（第一基本形式，第二基本形式）	講義中に指示する．
第3回	Weingarten の公式（主曲率）	講義中に指示する．
第4回	Gaussの公式（Christoffel 記号）	講義中に指示する．
第5回	曲面論の基本定理（驚異の定理）	講義中に指示する．
第6回	測地線（Gauss-Bonnet の定理）	講義中に指示する．
第7回	理解確認	講義中に指示する．

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うことだそうです．

教科書

梅原雅顕・山田光太郎「曲線と曲面（改訂版）」裳華房

参考書、講義資料等

小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」裳華房

成績評価の方法及び基準

試験と課題による．評点の算出方法は最初の講義で説明する．

履修の条件・注意事項

MTH.B211 幾何学概論第一を履修しているか，内容を理解していること．

連絡先 (メール、電話番号) ※”[at]”を”@”(半角)に変換してください。

kotaro[at]math.titech.ac.jp

オフィスアワー

設定しない．
必要に応じて教室か電子メイルでコンタクトをとること．

その他

詳細は講義 web ページおよびT2Scholaを参照のこと．
Webページ：http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2020/geom-2/index-jp.html
なお OCW/OCW-i は動作が不安定なため，今年度は講義資料を掲載しない．

関連する科目は，記入欄が少ないので直接関連する科目のみを挙げた．その他に微分方程式概論第一，微分方程式概論第二, 位相空間論第一，位相空間論第二，位相空間論第三，位相空間論第四, 幾何学第一，幾何学第二,幾何学続論, 複素解析第一，複素解析第二などの科目と関連がある．