2024年度 H27年度以前入学者向け理学部数学科

代数学第一

開講元: 数学科
担当教員: 鈴木正俊
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 水3-4 (M-B104(H103)) / 木3-4 (M-B104(H103))
クラス: -
科目コード: ZUA.A301
単位数: 200
開講時期: 2024年度
開講クォーター: 1～2Q
シラバス更新日: 2025年3月14日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは(可換)環と環上の加群に関する基本的な諸概念と性質である。本講義では，最初に(可換)環とそのイデアルおよび剰余環についての基本的な事項について復習した後，環上の加群について，部分加群・剰余加群，線型写像・準同型定理，直和・直積，完全列， Hom加群，自由加群などを含む基礎事項について網羅的に履修する。その後，環や加群の局所化, ネーター環とアルティン環について学ぶ.
後半では, 局所環について学んだ後で，加群のテンソル積を導入し，その右完全性や関連する概念(平坦性など)について基礎的な事項を履修する
また, ホモロジー代数の基本事項にも触れる. 各回で講義内容に関する問題演習を行う.
環とそのイデアルおよび環上の加群の概念，代数学において最も基本的な概念の一つであり，適用範囲の非常に広いものである. 一方で，これらは抽象的な概念でもあり，多くの初学者にとって理解が困難なものでもある。本講義では(可換)環の典型例である有理整数環・多項式環など理論に表れる典型的な具体例を通じて，これらの抽象概念に慣れていくことも目標の一つである.

到達目標

本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・ (可換) 環のイデアルおよび環上の加群の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・テンソル積を理解し、正しく使う事ができる。
・局所化の概念を理解し、正しく使う事ができる。
・ネーター環とアルティン環について理解し，正しく使う事ができる。
・局所環について理解し，正しく使う事ができる。
・ホモロジー代数について理解し，正しく使う事ができる。

キーワード

環，イデアル，剰余環，加群，テンソル積，局所化，ネーター環，アルティン環，局所環，ホモロジー代数

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による講義を行う。

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	環とイデアル	講義中に指示する。
第2回	環上の加群、部分加群、準同型	講義中に指示する。
第3回	自由加群、完全列	講義中に指示する。
第4回	単項イデアル整域上の加群	講義中に指示する。
第5回	局所化	講義中に指示する。
第6回	ネーター環とアルティン環	講義中に指示する。
第7回	ヒルベルトの基底定理	講義中に指示する。
第8回	局所環	講義中に指示する。
第9回	半単純環	講義中に指示する。
第10回	テンソル積、テンソル積の右完全性	講義中に指示する。
第11回	平坦加群、射影加群、単射加群	講義中に指示する。
第12回	5 項補題、蛇の補題	講義中に指示する。
第13回	発展的内容	講義中に指示する。
第14回	発展的内容	講義中に指示する。

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

代数学（永尾汎著, 朝倉書店）、環と加群（山崎圭二郎著, 岩波書店）、代数学I + 代数学II（桂利行著, 東京大学出版会）、代数学2+代数学3（雪江明彦著, 日本評論社）などから選んでください.

参考書、講義資料等

講義中に指示する。

成績評価の方法及び基準