2024年度 H27年度以前入学者向け 理学部 数学科
代数学概論第一
- 開講元
- 数学科
- 担当教員
- 内藤 聡
- 授業形態
- 講義 (対面型)
- メディア利用科目
- -
- 曜日・時限
(講義室) - 水3-4 (M-110(H112)) / 金3-4 (M-110(H112))
- クラス
- -
- 科目コード
- ZUA.A201
- 単位数
- 200
- 開講時期
- 2024年度
- 開講クォーター
- 1～2Q
- シラバス更新日
- 2025年3月17日
- 使用言語
- 日本語
シラバス
授業の目的（ねらい）、概要
代数学は数学的対象のもつ演算規則を抽象化・一般化した理論である。本講義の主要なテーマは、演算規則に関する基本的な概念と性質、および整数や多項式の抽象化・一般化である (可換な) 環とそのイデアル、剰余環等の概念と性質である。
本講義で学ぶ内容は代数学全体の基礎であるだけでなく、解析学や幾何学等、他の分野においても必須である。また、直感に頼らずに論証を行う事は、数学のみならず全ての数理系科学において基本的な態度である。本講義では、集合と写像の概念に基づいた厳密な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。
到達目標
代数学において重要な概念である、環、部分環、体、整域、イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、環の準同型写像、環の準同型定理、中国剰余定理、ユークリッド整域、単項イデアル整域、素元・既約元、一意分解整域、等を理解し、習熟する事。また、これらについての基本的な性質を自力で証明できる様になる事。
キーワード
環、部分環、体、整域、イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、環の準同型写像、環の準同型定理、中国剰余定理、ユークリッド整域、単項イデアル整域、素元・既約元、一意分解整域
学生が身につける力
- 専門力
- 教養力
- コミュニケーション力
- 展開力 (探究力又は設定力)
- 展開力 (実践力又は解決力)
授業の進め方
通常の講義形式による講義を行う。
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 環の定義と例 | 講義中に指示する。 |
| 第2回 | 環の定義から導かれる諸性質 | 講義中に指示する。 |
| 第3回 | 部分環の定義と例 | 講義中に指示する。 |
| 第4回 | 可逆元・べき零元と体・整域 | 講義中に指示する。 |
| 第5回 | イデアルの定義と例 | 講義中に指示する。 |
| 第6回 | 剰余環の定義と例 | 講義中に指示する。 |
| 第7回 | 素イデアルと極大イデアル | 講義中に指示する。 |
| 第8回 | 理解度確認 | 講義中に指示する。 |
| 第9回 | 環の準同型写像の定義と例 | 講義中に指示する。 |
| 第10回 | 環の準同型定理とその応用例 | 講義中に指示する。 |
| 第11回 | 中国剰余定理とその応用例 | 講義中に指示する。 |
| 第12回 | ユークリッド整域の定義と例 | 講義中に指示する。 |
| 第13回 | 単項イデアル整域の定義と例 | 講義中に指示する。 |
| 第14回 | 素元・既約元の定義と諸性質 | 講義中に指示する。 |
| 第15回 | 一意分解整域 | 講義中に指示する。 |
準備学修(事前学修・復習)等についての指示
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
中島匠一 : 代数と数論の基礎, 共立出版, 2000.
参考書、講義資料等
雪江明彦: 代数学 2 環と体とガロア理論, 日本評論社, 2010.
堀田良之：代数入門－環と加群－，裳華房, 1987.
(アンドレ・ヴェイユ：初学者のための整数論(ちくま学芸文庫)，筑摩書房，2010.)
成績評価の方法及び基準
中間試験および期末試験。 詳細は講義中に指示する。
関連する科目
- MTH.A201 ： 代数学概論第一
- MTH.A202 ： 代数学概論第二
- ZUA.A202 ： 代数学演習Ａ第一
- ZUA.A203 ： 代数学概論第二
- ZUA.A204 ： 代数学演習Ａ第二
履修の条件・注意事項
「線形代数学第一・演習」「線形代数学第二」「線形代数学演習第二」を履修していることを前提とする。
「代数学演習A第一 (ZUA.A202)」を同時に履修することが強く推奨される（未履修の場合）。