集合と位相第二

開講元

数学科

担当教員

遠藤 久顕

授業形態

講義 (対面型)

メディア利用科目

-

曜日・時限
(講義室)

火3-4 (M-135)

クラス

-

科目コード

ZUA.B203

単位数

200

開講時期

2024年度

開講クォーター

3～4Q

シラバス更新日

2025年3月17日

使用言語

日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは位相空間論と距離空間論である。まず集合上の位相を、開集合系、閉集合系、近傍系を使って定義し、位相空間の写像の連続性を学ぶ。次に距離位相、相対位相、商位相、直積位相などの標準的な位相を解説する。次にハウスドルフ性などのいわゆる分離公理を学ぶ。後半では、位相空間のコンパクト性、連結性、弧状連結性など、より幾何学的性質を解説する。コンパクト性は、一種の有限性を意味するものであり、その上の任意の連続関数が最大値と最小値をもつという著しい性質を持つ。連結性・弧状連結性は、空間がひとつながりになっているかを表すものであり、やはり基本的な概念である。これらの概念を、基本的な重要性を持つ例とともに解説する。また、距離空間の完備性や有界性についても解説する。本講義は、同時期に開講される「幾何学演習Ａ」と同時に受講することが強く望まれる。
　位相の概念は写像の連続性を記述するために必要な概念であり、幾何学はもちろんのこと、代数学および解析学でも頻繁に現れ、いずれの数学を学ぶ上でも必須の概念である。位相空間のコンパクト性と連結性は、空間の最も基本的な幾何学的性質であり、今後幾何学を学ぶ上で基礎となる概念である。距離空間の完備性や有界性は、特に解析学を学ぶ際に重要になる。

到達目標

・位相のさまざまな記述方法を理解すること
・位相と写像の連続性の関係を理解すること
・さまざまな設定の下で自然に定まる位相について理解すること
・分離公理を満たさない空間の基本的な例を理解すること
・連結な空間と非連結な空間を、多くの具体例とともに理解すること
・コンパクトな空間と非コンパクトな空間を、多くの具体例とともに理解すること
・コンパクト空間の持つ特別な性質を証明できるようになること
・完備距離空間の多くの性質を理解すること

キーワード

位相と位相空間、近傍系、第一可算公理、第二可算公理、連続写像、誘導位相、分離公理、コンパクト空間、連結空間、弧状連結性、完備距離空間

学生が身につける力

• 専門力
• 教養力
• コミュニケーション力
• 展開力 (探究力又は設定力)
• 展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式

授業計画・課題

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

「集合と位相」内田伏一著　裳華房 (1986年)

参考書、講義資料等

「集合と位相」斎藤毅著　東京大学出版会 (2009年)
「集合・位相入門」松坂和夫著　岩波書店 (1968年)
「集合と位相空間」森田茂之著　朝倉書店 (2002年)

成績評価の方法及び基準

中間試験(およそ50%) および期末試験(およそ50%)

関連する科目

• ZUA.B204 ： 幾何学演習Ａ
• MTH.B203 ： 位相空間論第三
• MTH.B204 ： 位相空間論第四

履修の条件・注意事項

微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。
幾何学演習Aを同時に履修することが強く推奨される（未履修の場合）。