集合と位相第一

開講元

数学科

担当教員

山田 光太郎

授業形態

講義 (対面型)

メディア利用科目

-

曜日・時限
(講義室)

火3-4 (M-B104(H103))

クラス

-

科目コード

ZUA.B201

単位数

200

開講時期

2024年度

開講クォーター

1～2Q

シラバス更新日

2025年3月17日

使用言語

日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは集合と写像に関する基本的な概念と性質、順序集合とユークリッド空間および距離空間である。集合に関する基本的な演算を解説した後、集合の間の写像に関する基本的な概念（単射、全射、全単射）を学ぶ。次に、二項関係、特に同値関係について解説し、同値類および商集合について学ぶ。次に集合の間の相等について解説し、いわゆる濃度について学ぶ。次に順序集合、整列集合と帰納的順序集合を導入し、これらの概念の応用を解説する。また、ユークリッド空間に関する基本的事項を解説し、これまで慣れ親しんできた連続写像の概念が、開集合の言葉で簡潔に言い表せることを学ぶ。最後に距離空間の概念を定義し、写像の連続性がユークリッド空間の場合とまったく同様に言い換えられることをみる。本科目は演習科目「集合と位相演習」とセットで履修することが強く推奨される。
　集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものである。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

到達目標

・ド・モルガンの法則を自由に使えるようになること
・与えられた写像が全射になるか、単射になるか、全単射になるか判定できるようになること
・与えられた写像の像と逆像を求められるようになること。
・同値関係と商集合の具体例を扱えるようになること
・連続の濃度と可算の濃度の違いを理解すること
・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ強い性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること

キーワード

集合、写像、像と逆像、直積集合、二項関係、同値関係、商集合、集合の濃度、可算濃度と非可算濃度
順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像

学生が身につける力

• 専門力
• 教養力
• コミュニケーション力
• 展開力 (探究力又は設定力)
• 展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式

授業計画・課題

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

梅原雅顕・一木俊助「これからの集合と位相」裳華房 2021

参考書、講義資料等

内田伏一「集合と位相（増補新装版）」裳華房 2020

成績評価の方法及び基準

１Q，2Qに行われる試験を同比率で評価する．詳細は最初の講義にて説明する．

関連する科目

• MTH.B201 ： 位相空間論第一
• MTH.B202 ： 位相空間論第二
• ZUA.B202 ： 集合と位相演習

履修の条件・注意事項

微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。
集合と位相演習を同時に履修することが強く推奨される（未履修の場合）

連絡先 (メール、電話番号) ※”[at]”を”@”(半角)に変換してください。

kotaro[at]math.titech.ac.jp

オフィスアワー

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