2024年度 H27年度以前入学者向け理学部数学科

解析概論第一

開講元: 数学科
担当教員: 隠居良行
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 月3-4 (M-B104(H103))
クラス: -
科目コード: ZUA.C201
単位数: 200
開講時期: 2024年度
開講クォーター: 1～2Q
シラバス更新日: 2025年3月17日
使用言語: 日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

　本講義では、1年次に微分積分学で学習した数列・関数の極限、微分法といった概念をいわゆるイプシロン・デルタ論法によって厳密に定式化する．また，関数の多項式近似として重要なテイラー展開について学ぶ．さらに，関数列の極限，多変数関数の極限・微分法といった概念をイプシロン・デルタ論法によって厳密に定式化し，多変数関数の極値問題を解くための基本的な手法を学ぶ．「解析学演習A第一」と合わせて履修することが強く推奨される．
　本講義は，解析学を論理的に記述するための基礎能力を身につけることを目標とする．とくにイプシロン・デルタ論法に習熟し，一般次元の微分積分学の基礎となる実数の極限操作を厳密に行う方法を学ぶ．

到達目標

・切断による無理数の構成を理解する．
・上極限・下極限の概念に親しむ．
・数列と関数の極限に関する命題をイプシロン・デルタ論法により表現し証明できるようになる．
・連続関数の性質（中間値の定理，最大最小値の存在）を理解する．
・テイラー展開や漸近展開による関数の多項式近似ができるようになる．
・関数列の一様収束と各点収束の違いを理解する
・べき級数の収束円内での微分積分に習熟する．
・多変数関数の1次近似としての微分（全微分）の意味を理解する．
・勾配ベクトルと偏微分の関係を理解する．
・合成関数の偏微分を計算できるようになる
・ラグランジュの未定乗数法の原理を理解する．

キーワード

実数の連続性，上限，下限，上極限，下極限，コーシー列，
連続関数，微分，テイラー展開
一様収束，べき級数，全微分，偏微分，多変数のテイラー展開
逆関数定理，陰関数定理，ラグランジュの未定乗数法

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．毎週のレポート課題に加え，小テストも適宜行う．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	実数の連続性、上限と下限	講義中に指示する．
第2回	数列の極限、部分列と集積点	講義中に指示する．
第3回	上極限、下極限、コーシー列	講義中に指示する．
第4回	級数の収束、無限和の順序交換	講義中に指示する．
第5回	関数の極限と連続性	講義中に指示する．
第6回	連続関数の性質	講義中に指示する．
第7回	微分可能性、ロルの定理、平均値の定理	講義中に指示する．
第8回	高階微分とテイラー展開，理解度確認	講義中に指示する．
第9回	関数列の各点収束，一様収束とその性質	講義中に指示する．
第10回	べき級数	講義中に指示する．
第11回	多変数関数の極限と連続性	講義中に指示する．
第12回	全微分と偏微分	講義中に指示する．
第13回	多変数関数の極値問題	講義中に指示する．
第14回	逆関数定理と陰関数定、未定乗数法とその応用	講義中に指示する．

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

なし

参考書、講義資料等

「解析入門I」，「解析入門II」，杉浦光夫著，東京大学出版会
「解析入門」，柳田英二，裳華房
「解析入門I」，「解析入門II」，小平邦彦著，岩波書店
「解析概論」，高木貞二著，岩波書店
「数学解析（上）」「数学解析（下）」，溝畑茂著，朝倉書店

成績評価の方法及び基準

期末試験，小テストなどにより評価する．詳細は講義中に指示する．

履修の条件・注意事項

微分積分学第一・第二，同演習，線形代数学第一・第二およびそれらの演習科目を履修済みであることを前提とする．