2023年度 学院等開講科目 理学院 数学系 数学コース
幾何学特論G1
- 開講元
- 数学コース
- 担当教員
- KALMAN TAMAS
- 授業形態
- 講義 (対面型)
- メディア利用科目
- -
- 曜日・時限
(講義室) - 金5-6 (M-112(H117))
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.B507
- 単位数
- 100
- 開講時期
- 2023年度
- 開講クォーター
- 3Q
- シラバス更新日
- 2025年7月8日
- 使用言語
- 英語
シラバス
授業の目的（ねらい）、概要
本講義では、結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、Morse 理論、Floer ホモロジー等の概念を理解するとともに、基本的な性質を自力で証明できることを目標とする。Floer ホモロジーは現代位相幾何学および周辺科学における先進的な分野であり、適用範囲の広い概念である。本講義では Heegaard Floer homology とその応用を学ぶ。
到達目標
この講義の目的は、受講生が研究を始められるよう、低次元トポロジーにおける重要事項を解説することである。
キーワード
結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、種数とファイバー性、Morse 理論、Floer ホモロジー
学生が身につける力
- 専門力
- 教養力
- コミュニケーション力
- 展開力 (探究力又は設定力)
- 展開力 (実践力又は解決力)
授業の進め方
通常の講義
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 結び目、絡み目、その種数とファイバー性、結び目 Floer ホモロジーの性質 | 定義と性質の確認 |
| 第2回 | Alexander 多項式（無限巡回被覆、Rolfsen’s surgical view、Seifert 行列）、Seifert の定理 | 定義と性質の確認 |
| 第3回 | Neuwirth の定理、Alexander 多項式の Fox calculus による定義 | 定義と性質の確認 |
| 第4回 | Kauffman’s state model、Conway のスケイン関係式、grid diagrams | 定義と性質の確認 |
| 第5回 | 結び目 Floer ホモロジーの組み合わせ的な定義、次数、Euler 標数 | 定義と性質の確認 |
| 第6回 | d^2=0 や不変性の証明、一般的な Floer ホモロジーの概要 | 定義と性質の確認 |
| 第7回 | Morse 函数、Morse の補題、sublevel set の変化、三次元多様体の Heegaard 分解 | 定義と性質の確認 |
準備学修(事前学修・復習)等についての指示
学修効果を上げるため，参考書等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
特になし
参考書、講義資料等
講義の概略として, Juhasz 氏の論文 (arXiv:1310.3418) と Manolescu 氏の論文 (http://arxiv.org/abs/1401.7107) を使う。
Morse 理論については, Hutchings 氏の講義ノートが参考になる。(http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps)
成績評価の方法及び基準
レポート課題（100％）．
関連する科目
- MTH.B202 ： 位相空間論第二
- MTH.B301 ： 幾何学第一
- MTH.B302 ： 幾何学第二
履修の条件・注意事項
代数トポロジー（ホモロジー、コホモロジー、基本群等）を仮定する。基本的な複素解析を知っていることが望ましい。
その他
掲載されたトピックを変更する権利を保持する。もし聴講者が昨年の同じコースと重なるようであれば、間違いなくトピックを変更する。例えば、Homfly多項式やHeegaard Floer理論のより高度な発展などが考えられる。