2023年度学院等開講科目理学院数学系数学コース

解析学特論B1

開講元: 数学コース
担当教員: 小池開
授業形態: 講義 (対面型)
メディア利用科目: -
曜日・時限 (講義室): 月3-4 (M-102(H115))
クラス: -
科目コード: MTH.C406
単位数: 100
開講時期: 2023年度
開講クォーター: 2Q
シラバス更新日: 2025年7月8日
使用言語: 英語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義では物理学や工学，あるいは幾何学など，様々な分野で重要な役割を果たす，非線形偏微分方程式の入門的な解説を行う．

「非線形偏微分方程式」という言葉が指す対象は広大であり，それぞれの方程式が独自の世界を形成している．とはいえ，ある程度は共通した指針・考え方もあり，これを知っておくことは個別の方程式について深く学ぶ際の助けになる．本講義のねらいは，具体的な非線形偏微分方程式を扱いつつ，こうした考え方を説明することにある．

なお，本講義は「解析学特論A1」の続編である．

到達目標

非線形偏微分方程式の解の性質を調べる上で役立つ手法・考え方を取得する．

キーワード

非線形偏微分方程式，変分法における直接法，特性曲線法

学生が身につける力

専門力
教養力
コミュニケーション力
展開力 (探究力又は設定力)
展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．適宜レポート課題を出題する．

授業計画・課題

	授業計画	課題
第1回	変分法：Euler−Lagrange方程式	Lagrangianから定まる作用の極値問題とEuler−Lagrange方程式の関係を説明できるようになること．また，重要なEuler−Lagrange方程式の例を挙げられるようになること．
第2回	変分法における直接法（1）	直接法を用いてEuler−Lagrange方程式の解の存在を議論できるようになること．
第3回	変分法における直接法（2）	同上
第4回	非粘性Burgers方程式：特性曲線法	1階の偏微分方程式を解く上で重要な特性曲線の方法を使いこなせるようになること．
第5回	非粘性Burgers方程式の弱解：衝撃波と希薄波	非粘性Burgers方程式の弱解である衝撃波と希薄波が何かを説明できるようになること．
第6回	非粘性Burgers方程式の弱解：エントロピー条件	非粘性Burgers方程式の弱解の一意性を保証するために重要なエントロピー条件を理解すること．
第7回	エピローグ	講義で扱いきれなかったその他の非線形偏微分方程式をいくつか紹介し，さらなる学習の指針を与える．
第8回	その他	講義中に指示する．

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと．

教科書

使用しない．

参考書、講義資料等

[1] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010：説明が丁寧で読みやすい．また，取りあげているトピックのバランスもよい．とくに入門書ではしばしば扱いが小さい（が実際には中心的な研究対象である）非線形偏微分方程式を詳しく解説している点がありがたい．
[2] 松村昭孝・西原健二『非線形微分方程式の大域解』日本評論社（2004年）：非線形偏微分方程式の解析で広く用いられるエネルギー法について解説した教科書である．定義・定理の羅列ではなく，非線形微分方程式を解く際の考え方が丁寧に解説されている．
[3] スタンリー・ファーロウ『偏微分方程式―科学者・技術者のための使い方と解き方』朝倉書店（1996年）：各種の偏微分方程式の導出，その物理的意味および解法が分かりやすく説明されている．こうした事柄は数学の教科書では省略されることが多く，本書で補うとよりよい理解が得られるだろう．

成績評価の方法及び基準

出席と提出課題により評価する．

履修の条件・注意事項

解析学特論A1（MTH.C405）も同時に履修すること．