数学特別講義L

開講元

数学コース

担当教員

三竹 大寿 / 利根川 吉廣

授業形態

講義 (対面型)

メディア利用科目

-

曜日・時限
(講義室)

集中講義等 (本館2階201数学系セミナー室)

クラス

-

科目コード

MTH.E536

単位数

200

開講時期

2023年度

開講クォーター

4Q

シラバス更新日

2025年7月8日

使用言語

日本語

シラバス

授業の目的（ねらい）、概要

本講義の主要なテーマは，楕円型，放物型に属する非線形偏微分方程式を解析するための方法論の一つである粘性解理論である．粘性解理論は，1980年代前半にCrandallとLionsにより導入された弱解理論の一つで，最適制御理論に現れる完全非線形偏微分方程式に分類されるハミルトン・ヤコビ方程式や界面運動に現れる平均曲率流方程式を代表とする幾何学流を解析するための手段として標準的なものである．
　内容としては，粘性解理論の基礎（比較原理，存在，安定性，解公式）について学び，その上で比較的最近の話題である外力付平均曲率流の等高面方程式のノイマン境界値問題の解の漸近挙動について理解することを目指す．講義はなるべく事前の知識がなくとも理解できる内容にしたい．

到達目標

(a) 粘性解の定義と整合性について理解すること
(b) 1階偏微分方程式に対する基礎理論（比較原理，解の存在，L^\inftyノルムに対する解の安定性）について証明を理解すること
(c) Crandall-Ishiiの補題の主張について理解して，２階偏微分方程式に対する比較原理に応用できるようになること
(d) 解の表現公式について理解すること
(e) 解の正則性（特に，解のリプシッツ評価）について理解すること
(f) 外力付平均曲率流の等高面方程式の時間大域的リプシッツ評価と長時間挙動について理解すること

キーワード

粘性解理論，幾何学流，界面運動，等高面法，ハミルトン・ヤコビ方程式，平均曲率流方程式

学生が身につける力

• 専門力
• 教養力
• コミュニケーション力
• 展開力 (探究力又は設定力)
• 展開力 (実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．

授業計画・課題

準備学修(事前学修・復習)等についての指示

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

Yoshikazu Gig, Surface Evolution Equations, Birkhauser (2006)，
Hung Vinh Tran，Hamilton-Jacobi Equations: Theory and Application, American Mathematical Society (2021)

成績評価の方法及び基準

レポート課題(100%)による．

関連する科目

• MTH.C341 ： 微分方程式概論第一
• MTH.C342 ： 微分方程式概論第二

履修の条件・注意事項

なし